Failure Criterion for brittle materials
ในตอนที่2จะกล่าวถึงทฤษฎีที่  นำมาใช้ในการวิเคราะห์  ความเสียหายสำหรับวัสดุแข็งเปราะ

วัสดุที่มีแนวโน้มที่จะเกิดการแตกหักมากกว่าการ Yielding หรือมีการยืดตัวน้อยก่อนที่จะเกิดการแตกหักเรียกว่าวัสดุเปราะ มีวัสดุเปราะอยู่จำนวนหนึ่งที่มี Compressive strength เท่ากับหรือใกล้เคียงกับ Tensile strength วัสดุที่มีพฤติกรรมเช่นนี้เรียกว่า Even materials เช่น Fully hardened tool steel  แต่วัสดุเปราะจำนวนมากซึ่งเป็นเหล็กหล่อเช่น เหล็กหล่อสีเทา จะมี Compressive strength สูงกว่า Tensile strength มาก เรียกวัสดุที่มีพฤติกรรมเช่นนี้ว่า Uneven materials  สาเหตุที่เหล็กหล่อมี Tensile strength ต่ำกว่าปกติมาก เนื่องจากมีช่องว่างหรือตำหนิขนาดเล็ก( Microscopic flaws ) ภายในเนื้อวัสดุ เมื่อรับแรงดึง ตำหนิเหล่านี้จะทำให้เกิดการ crack ได้ง่าย แต่เมื่อรับแรงกด ตำหนิเหล่านี้จะถูกบีบเข้าด้วยกันทำให้มีขนาดเล็กลงจึงมีผลต่อการเกิด crack น้อยลง นอกจากนี้ค่า Tensile strength ยังต่ำกว่าค่า Shear strength อีกด้วย ซึ่งต่างจากวัสดุเหนียว ซึ่งจะเห็นได้จากการทดสอบแรงดึงและแรงบิด  จากรูปที่ 1 แสดงชิ้นงานมาตรฐานที่ใช้ในการทดสอบแรงดึงซึ่งทำจากวัสดุเหนียว จะเห็นว่าเพลนที่เกิดการขาดหรือเกิดความเสียหายจะทำมุม 45° กับแนวแกนของชิ้นงานหรือแนวแรงดึง ซึ่งเพลนนี้เราสามารถพิสูจน์ด้วยการแตกแรงหรือวิธี Mohr’s circle ได้ว่าเป็นเพลนที่เกิดความเค้นเฉือนสูงสุด
 

รูปที่ 1 แสดงชิ้นงานมาตรฐานวัสดุเหนียว  ที่ใช้ในการทดสอบแรงดึง

รูปที่ 2 แสดงชิ้นงานมาตรฐานวัสดุเปราะที่ใช้ในการทดสอบแรงดึง
แต่ถ้าเป็นวัสดุเปราะซึ่งแสดงดังรูปที่ 2  เพลนที่เกิด การขาดหรือความเสียหายจะตั้งฉากกับแนวแรงดึงซึ่งเป็นเพลนที่ถูกกระทำด้วย ความเค้นดึงสูงสุด   Mohr’s circle ของการทดสอบแรงดึงแสดงดังรูปที่ 3 ซึ่งเหมือนกันทั้งวัสดุเหนียวและเปราะ

รูปที่ 3   Mohr’s circle ของการทดสอบแรงดึง

รูปที่ 4  ชิ้นงานที่ผ่านการทดสอบแรงบิด  (a) วัสดุเหนียว   (b) วัสดุเปราะ

รูปที่ 4 แสดงชิ้นงานที่ผ่านการทดสอบแรงบิด ซึ่งรูปทางด้านซ้ายเป็นวัสดุเหนียว เพลนที่เกิดการขาดหรือเกิดความเสียหายจะเป็นเพลนที่มีความเค้นเฉือนสูงสุด แต่ถ้าเป็นวัสดุเปราะด้านขวา เพลนที่เกิดความเสียหายจะเป็นเพลนที่ทำมุม 45 ° กับ แนวแกนซึ่งเป็นเพลนที่เกิดความเค้นฉากสูงสุด ดังนั้นการทดสอบแรงดึงและแรงบิดจึงช่วยสนับสนุนให้เห็นว่าวัสดุเหนียวมีค่า Shear strength ต่ำสุด จึงเกิดความเสียหายเนื่องจาก Shear stress ส่วนวัสดุเปราะมีค่า Tensile strength ที่ต่ำที่สุดจึงเกิดความเสียหายเนื่องจาก Tensile stress   รูปที่ 5 แสดง Mohr’s circle สำหรับการทดสอบแรงดึงและแรงกดของทั้ง Even และ Uneven materials เส้นตรงที่ลากสัมผัสวงกลมทั้งสองเรียกว่า failure lines พื้นที่ที่ถูกปิดล้อมด้วยวงกลมและ failure lines เป็นย่านที่ปลอดภัย ในกรณีของ Even materials failure lines ถูกสร้างขึ้นจากค่าความเค้นเฉือน ไม่ขึ้นกับค่าความเค้นฉาก แต่ในกรณีของ Uneven materials failure lines ขึ้นอยู่กับทั้ง
ค่าความเค้นเฉือนและค่าความเค้นฉาก ถ้าเทียบกับการทดสอบแรงดึงของ Uneven materials กับรูปที่ 5(b) ความเค้นฉากสูงสุดที่เกิดขึ้นซึ่งเป็นความเค้นดึงในแนวแกนอยู่บนขอบของวงกลมบนแกน s ทางด้านขวาของรูปซึ่งเป็นจุดที่เริ่มจะเกิดความเสียหายแต่ความเค้นเฉือนสูงสุดที่เกิดขึ้นขณะนั้นซึ่งทำมุม 45 ° กับ แนวแกนที่รับแรงและมีค่าเป็นครึ่งหนึ่งของความเค้นดึงยังอยู่ในย่านที่ ปลอดภัยซึ่งแสดงด้วยจุดบนขอบของวงกลมวงเล็กที่มีค่าความเค้นเฉือนสูงสุด และนี่ก็เป็นเหตุผลที่สนับสนุนว่า Uneven materials เสียหายเนื่องจากความเค้นดึง ซึ่งมีทฤษฎีที่สำคัญที่เป็นที่นิยมอยู่สามทฤษฎีคือ Maximum Normal Stress, Coulomb-Mohr และ Modified-Mohr Theory

รูปที่ 5   Mohr’s circle สำหรับการทดสอบแรงดึงและแรงกดของทั้ง Even และ Uneven materials

1.    Maximum Normal Stress Theory.
ทฤษฎีนี้กล่าวว่าวัสดุจะเกิดความเสียหาย เมื่อเกิดความเค้นฉากภายในเนื้อวัสดุนั้นถึงค่า Ultimate tensile strength  ของ วัสดุ รูปที่ 6 แสดงขอบเขตความปลอดภัยของวัสดุเปราะของ Maximum Normal Stress Theory   ในสองมิติ ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ในควอดแดรนท์ที่ 1 และ 3 ค่าของ Maximum Normal Stress Theory   จะเท่ากับค่าของ Maximum Shear Stress Theory แต่ในควอดแดรนท์ที่ 2 และ 4ขอบเขตของทฤษฎีนี้จะอยู่ข้างนอกหรือมากกว่าทั้ง  Maximum Shear Stress Theory และ Distorsion Energy Theory จากการทดลองจะแสดงให้เห็นว่าสำหรับวัสดุเปราะการเสียหายจะใกล้เคียงกับ Maximum Normal Stress Theory มากกว่าทฤษฎีสำหรับวัสดุเหนียวทั้งสองทฤษฎี( Maximum shear stress และ Distorsion energy theory )

รูปที่ 6 ขอบเขตความปลอดภัยของวัสดุเปราะของ Maximum Normal Stress theory

2. 
   Coulomb-Mohr Theory 
   .
   เนื่องจากวัสดุเปราะมักจะมีพฤติกรรมเป็นแบบ Uneven materials จึง มีการปรับ Maximum Normal Stress Theory ให้เหมาะสมยิ่งขึ้นซึ่งแสดงในรูปที่ 7 ด้วยเฉดสีเทา แต่จะใช้ได้กับวัสดุจริงในควอดแดรนท์ที่ 1 และ 3  ส่วนควอดแดรนท์ที่ 2 และ 4 ไม่ตรงกับผลการทดลอง จึงได้มีผู้คิดค้น Coulomb-Mohr Theory โดย การเชื่อมจุดที่อยู่ตรงข้ามกันด้วยเส้นทแยงมุมของควอดแดรนท์ที่ 2 และ 4 แสดงด้วยเฉดสีชมพูจางๆในรูปที่ 7 ซึ่งมีรูปร่างคล้ายกับ  Distorsion Energy Theory แต่ต่างกันตรงที่ Coulomb-Mohr Theory จะไม่สมมาตรเนื่องจากผลของ Uneven และใช้ Ultimate Strength แทน Yield Strength รูปที่ 8 แสดงผลของการทดสอบวัสดุเปราะเทียบกับ Coulomb-Mohr Theory ในควอดแดรนท์ที่สี่ยังไม่ตรงกับทฤษฎีนี้ จุดที่เกิดความเสียหายจะอยู่นอกขอบเขตซึ่งหมายความว่ายังมีการเผื่อค่าความปลอดภัยมากเกินไป

รูปที่ 7   ขอบเขตความปลอดภัยของวัสดุเปราะ
รูปที่ 8  ผลการทดสอบวัสดุเปราะเทียบกับทฤษฎีต่างๆ    รูปที่ 9 ภาวะของความเค้นของวัสดุเปราะ

3. Modified-Mohr Theory.
   จากการทดสอบวัสดุเปราะ ดังรูปที่ 8ผลที่ได้จะมีขอบเขตของ การเสียหายใกล้เคียงกับ Maximum Normal-Stress theory สำหรับ even materials ในควอดแดรนท์ที่ 1 ซึ่งความเค้นมีเครื่องหมายเหมือนกัน ส่วนในควอดแดรนท์ที่ 2 และ 4 ซึ่งความเค้นมีเครื่องหมายตรงกันข้ามกัน ผลที่ได้จะใกล้เคียงกับ Maximum Normal-Stress theory  ในย่านที่เป็น Even materials เท่านั้น สำหรับย่านที่เป็น uneven อย่างเช่น ควอดแดรนท์ที่ 4 จุดที่เกิดความเสียหายจะเรียงตัวค่อนข้างเป็นเส้นตรงจากจุด S_ut , -S_ut ลงมายังจุด 0,-S_uc จึงมีผู้ปรับปรุงCoulomb-Mohr Theory โดยใช้ขอบเขตความเสียหายที่ได้ใกล้เคียงกับผลการทดสอบวัสดุเปราะแทนโดยการเชื่อมจุด S_ut , -S_ut กับจุด 0, – S_uc ให้เป็นเส้นตรงแทน ในควอดแดรนท์ที่ 4 ส่วนควอดแดรนท์ที่ 2 ก็ทำได้ในลักษณะเช่นเดียวกัน ดังรูปที่ 8  ถ้าพิจารณา 2D Principal stress และ  ,   ภาวะของความเค้นจะแสดงได้สามแบบ A ,B และ C ดังรูปที่ 9  จุด A คือภาวะที่ความเค้นหลักมีเครื่องหมายเป็นบวกเหมือนกัน(ความเค้นดึง)   Modified-Mohr Theoryทำนายว่าความเสียหายจะเกิดขึ้นเมื่อ ภาวะของความเค้น A เพิ่มขึ้นเลยออกไปอยู่นอกขอบเขตความเสียหาย Factor of Safety หาได้จาก

   เมื่อ N คือ Factor of Safety

   ถ้าความเค้นหลักมีเครื่องหมายตรงกันข้ามกัน ดังควอดแดรนท์ที่ 4 ของรูปที่ 9 มีภาวะของความเค้นที่เป็นไปได้สองแบบคือ B กับ C ความแตกต่างระหว่างสองภาวะนี้คือ จุด B จะอยู่เหนือจุด S_ut , -S_ut ค่า Factor of Safety จะหาได้จากสมการ(1) เหมือนกับจุด A   ส่วนจุด C จะอยู่ต่ำกว่าจุด S_ut , -S_ut Factor of Safety หาได้จากความยาวของเส้น OC และ OC’ หรือหาจากสมการ

สรุปแล้วถ้าชิ้นงานที่จะวิเคราะห์เป็นวัสดุเหนียวจะใช้ Maximum shear stress หรือ Distorsion energy theory แล้วแต่ประสบการณ์ของผู้ออกแบบ แต่ถ้าชิ้นงานที่จะวิเคราะห์เป็นวัสดุเปราะ   Modified-Mohr Theory  เป็นทฤษฎีที่ให้ผลที่ใกล้เคียงที่สุด