บทประยุกต์ในการวิเคราะห์ผลลัพท์จาก CAE
(Computer Aided Engineering) เรื่อง Failure Criterion (1)
จนถึงวันนี้ก็สามารถพูดได้ว่า CAD/CAM นั้นไม่เพียงพอต่อการพัฒนาศักยภาพในการออกแบบและการผลิตเพื่อการแข่งขันในยุค IT อีกต่อไป หลายบริษัท หรือ หน่วยงานต่างๆที่มีความเกี่ยวข้องทางด้านงานออกแบบเชิงวิศวกรรมได้นำเอาเทคโนโลยีที่ช่วยในการคำนวณการออกแบบด้วยคอมพิวเตอร์ที่เรียกว่า Computer Aided Engineering หรือเรียกสั้นๆว่า CAE เข้ามาใช้งานในขณะที่ยังมีบริษัทอีกจำนวนมากที่เพิ่งเริ่มศึกษาความเป็นไปได้ในการนำมาใช้กับงานของบริษัทเองซึ่งหลายแห่งก็กินเวลาเป็นปีทั้งนี้ก็อาจจะมาจากแหล่งข้อมูลที่จะค้นคว้าที่จำกัดและในการศึกษานั้นมีการลองผิดลองถูกไปเรื่อยๆจนเสียเวลาไปมากอีกทั้งในการศึกษาก็มักจะเกิดปัญหาที่เป็นคำถามซึ่งหาคำตอบที่ชัดเจนได้ยากบ่อยๆอย่างเช่น
· เราจะเชื่อมั่นในคำตอบที่ได้จะการคำนวณของ software ได้อย่างไร
· คำตอบที่ได้มีความแม่นยำเชื่อถือได้กี่เปอร์เซ็นต์
· เราให้ Boundary Condition ถูกต้องหรือไม่
· ฯลฯ
และปัญหาพื้นฐานอย่างหนึ่งในการใช้งาน CAE ก็คือการประเมินผลที่ได้จากการวิเคราะห์หรือพูดง่ายๆก็คือการตีความผลลัพธ์ที่ได้นั่นเอง
 |
รูปแสดง
ตัวอย่างผลลัพธ์
ที่ได้ซึ่งมักจะแสดงในรูปของแถบสี
|
ที่นำเรื่องนี้มากล่าวก็เพราะทฤษฎีที่เกี่ยวข้องในการพังซึ่งสอดคล้องกับพฤติกรรมของวัสดุแต่ละแบบนั้นมีหลายทฤษฎีซึ่งต้องเลือกใช้ให้เหมาะสมกับสถานการณ์ บ่อยครั้งที่การประเมินความเสียหายที่ได้จากการคำนวณผิดพลาดเนื่องจากการเลือกใช้ทฤษฎีที่ไม่สอดคล้องกับสถานการณ์
จริงดังนั้นความรู้พื้นฐานในทฤษฎีต่างๆจึงมีความจำเป็นในการประเมินการออกแบบอย่างถูกต้องซึ่งจะกล่าวเป็นตอนๆจากนี้ไป
Failure Criteria คืออะไร
ในการออกแบบชิ้นงานทางวิศวกรรมจำนวนมากนั้น ชิ้นงานจะรับภาระกรรมหลายอย่างพร้อมกัน เช่น ความเค้นดึง ความเค้นกด และความเค้นเฉือน ซึ่งเรียกว่าความเค้นผสม( combined stress)และเป็นแบบสามมิติ จึงมีผู้พยายามตั้งทฤษฎีขึ้นมาใช้อธิบายถึงความเสียหายของชิ้นงาน โดยการเทียบกับสิ่งที่สามารถตรวจสอบด้วยการทดลองได้เช่น Yield tensile strength, Ultimate tensile strength หรือ strain ซึ่งค่าทั้งหมดได้จากการทดลองดึงชิ้นทดสอบในแนวแกนหรือแบบมิติเดียว ทฤษฎีเหล่านี้เรียกว่า ทฤษฎีความเสียหาย (Failure Criterion Theorem) และเนื่องจากวัสดุเหนียว(ductile material)และเปราะ(brittle material)เกิดความเสียหายที่แตกต่างกัน โดยวัสดุเหนียวจะเกิดความเสียหายเมื่อค่าความเค้นที่เกิดขึ้นในวัสดุถึง Yield point ซึ่งเป็นสิ่งที่เราไม่ต้องการ เพราะเมื่อความเค้นเกินค่านี้ไปแล้ววัสดุจะไม่สามารถคืนรูปกลับสู่สภาพเริ่มต้นได้ ดังนั้นเมื่อกล่าวถึงความเสียหาย( Failure)ของวัสดุเหนียวก็จะต้องพูดถึง Yield stress ซึ่งคือค่าความเค้น ณ Yield point ส่วนวัสดุเปราะจะไม่มี Yield point ความเสียหายจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อวัสดุรับความเค้นจนเกินการแตกหรือแยกของเนื้อวัสดุ ดังนั้นเมื่อกล่าวถึงความเสียหาย( Failure)ของวัสดุเปราะก็จะต้องพูดถึง Ultimate stress ซึ่งคือค่าความเค้นที่ทำให้วัสดุเกิดการแตกหัก
Failure Criterion for Ductile Material
ทฤษฎีความเสียหายสำหรับวัสดุเหนียวที่เป็นที่นิยมในปัจจุบัน มีอยู่ 2 ทฤษฎีคือ Maximum shear stress theory และ Maximum distortion energy theory เนื่องจากให้ผลใกล้เคียงกับการใช้งานจริง ส่วนทฤษฎีอื่นไม่เป็นที่นิยมเนื่องจากไม่สอดคล้องกับผลการทดสอบ จึงไม่ขอกล่าวถึงในที่นี้
1. Maximum shear stress theory (Tresca ’s Yield Theory)
ทฤษฎีนี้เกิดขึ้นก่อน Maximum distortion energy theory ทฤษฎีนี้เป็นผลจากการสังเกตว่าวัสดุเหนียวเกิดการเลื่อนไถลของ plane ในเนื้อวัสดุขณะเกิดการ Yield และตัวการสำคัญที่ทำให้เกิดการเลื่อนไถลก็คือ ความเค้นเฉือนจึงได้เกิดการตั้งสมมุติฐานว่าการ Yield ของวัสดุเหนียวขึ้นอยู่กับ ความเค้นเฉือน เท่านั้น และเมื่อชิ้นงานเกิดความเค้นเฉือนสูงสุดถึงค่าความเค้นเฉือนวิกฤต (
)ค่าหนึ่งซึ่งเป็นค่าที่ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของวัสดุเหนียวแล้ว ชิ้นงานก็จะเกิดการ Yield ส่วนค่าความเค้นเฉือนวิกฤต ()ของวัสดุแต่ละชนิดหาได้จากความเค้นเฉือนสูงสุดที่เกิดขึ้นในชิ้นงานมาตรฐานที่นำไปทดสอบแรงดึงเมื่อถึงจุด Yield ยิ่งพูดก็ยิ่ง งง ทำไมการทดสอบแรงดึงจึงมาเกี่ยวข้องกับความเค้นเฉือนได้ มันน่าจะเกี่ยวกับความเค้นฉากมากกว่า แต่อย่าลืมนะครับว่าในการทดสอบแรงดึงมีทั้งความเค้นฉากและความเค้นเฉือนเกิดขึ้นในชิ้นงาน โดยที่ความเค้นเฉือนจะเกิดขึ้นบนทุกๆ Plane ที่ไม่ได้ขนานหรือตั้งฉากกับแนวแรงดึง และความเค้นเฉือนสูงสุดจะเกิดขึ้นบนทุกๆ Plane ที่ทำมุม 45 องศากับแนวแรงดึงและมีค่าเป็นครึ่งหนึ่งของความเค้นฉากในแนวแรงซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ด้วยการแตกแรงธรรมดา จากที่ได้กล่าวมาข้างต้นแล้วว่าทฤษฎีนี้มองว่าความเค้นเฉือนคือตัวการสำคัญที่ทำให้ชิ้นงานเกิดการ Yield ฉะนั้นเช่นเดียวกันกับการทดสอบแรงดึง ถึงแม้จะเป็นการทดสอบแรงดึงแต่สิ่งที่ทำให้เกิดการ Yield คือความเค้นเฉือนสูงสุดที่เกิดขึ้นในชิ้นงานต่างหาก ซึ่งมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของ ความเค้นดึง ณ Yield point (Yield tensile stress) ดังนั้นชิ้นงานจะอยู่ในย่านที่ปลอดภัยเมื่อ
เมื่อ
คือ ความเค้นเฉือนสูงสุดที่เกิดขึ้นในชิ้นงาน เมื่อ
คือ ความเค้นเฉือนวิกฤตเป็นคุณสมบัติของวัสดุ เมื่อ
คือ ความเค้นดึง ณ Yield point เป็นคุณสมบัติของวัสดุ ได้จากการ ทดสอบแรงดึง สำหรับ Isotropic material
มีค่าคงที่ทุกทิศทาง
จาก Mohr’s Circle ความเค้นเฉือนสูงสุดที่เกิดขึ้นในชิ้นงานจะมีขนาดเท่ากับรัศมีของวงกลม และรัศมีของวงกลมก็สามารถหาได้จาก 
เมื่อ
,
คือความเค้นฉากหลัก (Principle normal stress) ที่มีค่าต่างกันมากที่สุด โดยค่าบวกหมายถึงความเค้นดึง ค่าลบหมายถึงความเค้นกด
ดังนั้นชิ้นงานที่รับความเค้นผสมในสามมิติจะอยู่ในย่านที่ปลอดภัยก็ต่อเมื่อ
และ 
เมื่อจัดรูปใหม่จะได้
และ
เมื่อพล็อตกราฟจะได้ดังรูปที่ 1
 |
รูปที่ 1 แผนภาพแสดงขอบเขตของความปลอดภัยตาม
Maximum shear stress theory
|
ถ้าภาวะความเค้นอยู่ในรูปหกเหลี่ยมแสดงว่าชิ้นงานมีความปลอดภัยไม่เกิดการ Yield แต่ถ้าอยู่บนขอบของรูปหกเหลี่ยมหรือข้างนอก แสดงว่าเกิดการ Yield ทฤษฎีนี้ศึกษาและทดสอบอย่างจริงจังโดย Tresca วิศวกรชาวฝรั่งเศส บางครั้งจึงเรียกทฤษฎีนี้ว่า Tresca’s Yield Theory
1. Maximum distortion energy theory (von Mises Yield condition)
ศึกษาอย่างจริงจังโดย von Mises จึงเรียกว่า von Mises Yield condition ด้วย ทฤษฎีนี้พิจารณาความเค้นเฉือนเหมือนกันและเทียบกับการทดสอบการดึงชิ้นงานเหมือนกัน แต่มองลึกลงไปที่ Total Elastic Energy (ถ้านึกภาพไม่ออก ลองนึกถึงพลังงานศักย์ยืดหยุ่นของสปริง คล้ายๆกัน) ซึ่งแบ่งเป็นสองส่วนคือส่วนที่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงปริมาตร(Dilatational elastic energy)และส่วนที่ทำให้เกิดการผิดรูปจากความเค้นเฉือน(Distortional elastic energy) ทฤษฎีนี้อ้างว่าชิ้นงานจะเกิดความเสียหายเนื่องจากการ Yield ก็ต่อเมื่อ Distortional elastic energy ภายในชิ้นงานนั้นมีค่าเท่ากับ ทฤษฎีนี้ใช้หลักการ Superposition ในการพิจารณาความเค้น พิจารณา Element ที่รับความเค้นหลัก ,และ 
ทั้งสามแกนและกำหนดให้ Mean Hydrostatic Stress, 
พิจารณาความเค้นหลักในรูปเวกเตอร์
แสดงแผนภาพได้ดังรูปที่ 2
 |
|
รูปที่ 2 State of stress
|
เทอมแรกทางด้านขวามือเรียกว่า Dilatational stress หรือ Hydrostatic stress เทอมนี้เกิดความเค้นที่เท่ากันทุกทิศทางทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงปริมาตรโดยการขยายตัว แต่ไม่ได้ก่อให้เกิดการเสียรูปทรงไปจากเดิม จึงไม่ทำให้เกิดการ Yield เนื่องจากสภาพเช่นนี้เหมือนกับของไหลที่อยู่นิ่งมีความดันเท่ากันทุกทิศทางและไม่มีความเค้นเฉือน จึงเรียกว่า Hydrostatic stress แต่เทอมที่สองคือ Distortional or Deviatoric stress ส่วนนี้ไม่ทำให้วัสดุเกิดการเปลี่ยนแปลงปริมาตรแต่ทำให้เกิดการผิดรูปเนื่องจากความเค้นเฉือนและเกิดการ Yield ได้ จากรูปที่ 3 เมื่อพิจารณาความเค้นในแกนเดียวเทอมที่ 2 และ 3 ทางด้านขวามือคือ Distortional stress แต่ละเทอมประกอบด้วย ความเค้นกดและความเค้นดึงบน Plane ที่ตั้งฉากซึ่งกันและกันจึงเทียบเท่ากับ Pure shear stress
รูปที่ 3 Uniaxial state of stress
รูปที่ 4 One dimensional stress
พิจารณา Elastic Energy ของ Element ในทิศทางเดียวดังรูปที่ 4 จะได้
ดังนั้น Total Elastic Energy per unit volume เท่ากับ 
พิจารณา Total Elastic Energy per unit volume ของ Element โดยวิธี Superposition จะได้
จากความสัมพันธ์ของความเค้น ความเครียด และอัตราส่วนปัวซอง
เมื่อแทนในสมการ Total Elastic Energy สมการที่ (1) และจัดรูปใหม่จะได้
หรือชิ้นงานจะมีความปลอดภัยไม่เกิดการ Yield ก็ต่อเมื่อ
สำหรับ Plane stress =0 และเมื่อจัดรูปใหม่จะได้
และเมื่อนำไปพล็อตกราฟจะได้ดังรูปที่ 5 พื้นที่ภายในวงรีแสดงถึงย่านที่ปลอดภัยไม่เกิดความเสียหายเนื่องจาการ Yield ส่วนพื้นที่บนวงรีและด้านนอกวงรีแสดงถึงย่านที่เกิดการ Yield และในสามมิติผิวที่เกิดการ Yield เนื่องจากความเค้นเฉือนหรือ Yield surface จะทำมุมกับแกนหลักของความเค้น (Principle stress axe) เท่าๆกัน โดยมี Cosine เท่ากันคือ 
แสดงดังรูปที่ 6
รูปที่ 5 Yield criterion based on Max Distortion Energy
รูปที่ 6 Yield surface for triaxial state of stress
เปรียบเทียบ Maximum shear stress theory กับ Maximum distortion energy theory
รูปที่ 7 แสดงขอบเขตของทฤษฎีทั้งสอง Maximum distortion energy theory จะมีขอบเขตที่มากกว่าหมายถึงเผื่อความปลอดภัยไว้น้อยกว่า ชิ้นงานที่ได้จากการออกแบบจะมีขนาดเล็กกว่า เมื่อชิ้นงานรับความเค้นเท่ากัน ทำให้ประหยัดกว่า เมื่อความเค้นหลักเท่ากันทั้งสองแกน จะได้ค่าความปลอดภัยที่เท่ากันทั้งสองทฤษฎี Maximum distortion energy theory จะเป็นที่นิยมมากกว่า เนื่องจากใกล้เคียงกับผลการทดลองมากกว่า
รูปที่ 7 Comparison of Tresca and von Mises
(อ่านต่อตอน2)
จะได้
